Következmény. A homogén egyenletrendszer mindig megoldható, mert nullával szorozva az egyenletrendszer együtthatóit, a megoldás nulla. A továbbiakban olyan egyenletrendszerekkel foglalkozunk, ahol r(a) = n. Direkt módszerek A lineáris egyenletrendszerek megoldási módszereit két csoportba sorolhatjuk. Direkt módszereknek nevezzük az olyan módszereket, melyekkel pontosan kiszámítható az egyenletrendszer megoldása. 1.6. Lineáris egyenletrendszerek iterációs megoldása. Általában ezt úgy tesszük, hogy kifejezzük az egyik egyenletből az egyik ismeretlent, majd behelyettesítve kapjuk a többi megoldást. Előnye, a már említett pontosság, hátránya viszont az, hogy nagyobb egyenletrendszerekre nem hatékony, a kiszámolás hosszadalmas. Ebben a részben az LU-felbontásról, valamint a Choleskyfelbontásról lesz szó. Az LU-felbontás Egy olyan eljárást szeretnék bemutatni lineáris egyenletrendszerek megoldására, melynek hátterében a Gauss-elimináció húzódik meg, azonban műveletigénye jóval kisebb, mivel ha a jobb oldalon lévő b i -ket, (i = 1... m) megváltoztatjuk akkor a Gauss-eliminációt újra és újra elkell végezni, azonban az LU-felbontásnál elég egyszer kiszámolni.
82) minden sorát függetlenül számíthatjuk ki; ugyanez a Gauss–Seidel-eljárás esetén problémát vizsgáljuk a két módszer konvergenciájágjegyzések. Ahogyan látjuk (1. 83)-ból, ill. (1. 85)-ből, a maximum normában könnyen megkaphatjuk a Jacobi-, ill. Gauss–Seidel-eljárás konvergencia rátájának becslését; ezután alkalmazhatjuk az (1. 72) becslést és az (1. 73) leállási kritériumot. Ezen pont végén erre konkrét példát mutatunk. Ha az mátrix oszloponként domináns (és nem soronként) akkor is konvergál mindkét iteráció ( 4. feladat). A domináns főátlójú mátrixok osztályában a Gauss–Seidel-iteráció soha nem konvergál lassabban, mint a Jacobi-iteráció ( 7. feladat). Gyakran érezhetően gyorsabb a Gauss–Seidel-eljárás konvergenciája, mint a Jacobié (ld. az ezen pont végén tárgyalt példát), de vannak mátrixok, amelyekre csak az utóbbi konvergál (ld. a 6. feladatot). Most új fogalmat vezetünk be azzal a céllal, hogy az iterációs eljárások konvergenciáját M-mátrixok esetén tanulmányozzuk (ehhez ld. az 1.
b) A közbülső (1. 109) iterációknál olyan mátrixok fordulnak elő, amelyeknek normája lényegesen nagyobb 1-nél, ha m. Ennek kihatása az lehet, hogy a számítógép túlcsordulás miatt leáll (ahelyett, hogy a várt optimálisan kis hibával befejezné munkáját). Ugyanis kicsi -re Ezen úgy segíthetünk, hogy az iterációs paramétereket alkalmas sorrendben használjuk, a nagy normájú mátrixok hatását kis normájú mátrixokkal ellensúlyozva. Megjegyezzük, hogy a legkézenfekvőbb ötlet, …. féle sorrendben használjuk az iterációs paramétereket, nem garantálja a numerikus stabilitást. Bizonyítás nélkül adunk két példát "stabil" sorrendre: esetén pl. 8, 4, 5, 7, 3, 6; 12: 12, 6, 10, 9, 11, 8. Megjegyzés. A Csebisev-iteráció nem stacionárius: a iterációs mátrixok – eltérően az 1. 18. tétel feltételeitől – -től és a lépésszámtól függnek. Ahogyan látjuk, a mátrixok normája ekkor nagyobb is lehet 1-nél; de ez a valódi számításnál óvintézkedéseket tesz szükségessé. A numerikus instabilitás megszüntetésére van más mód is.